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takahashicleaning · 6 months

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ＴＥＤにて

ロジャー・アントンセン:世界を理解する奥義としての数学

（詳しくご覧になりたい場合は上記リンクからどうぞ）

ロジャー・アントンセンと一緒に、最も想像力を使う芸術様式である数学を通して、世界の仕組みや謎を解き明かしましょう。

見方をちょっと変えることで、パターンや数や式が姿を現し、それが、共感や理解に繋がるのだと彼は言います。プログラミングにも応用されているので、現時点で人気のある標準的なプログラム言語から始めてもいいかもしれません。

数学とコンピューターサイエンスというのは、創造力を最も駆使する芸術様式なんです。見方を変えるというのは、皆さんに馴染みのあることのはずです。

私たちが、日々、やっていることであり、それは共感と呼ばれています。私が、相手の見方で世界を見るとき、私は、その人への共感を持っています（日本では、「思いやり」と表現します）

相手から見た世界を本当に理解したなら、私は、共感していると言えます。それには、創造力が必要です。そうやって、私たちは理解を手にするのです。

数学やコンピューターサイエンスでは至る所で使います。共感とこれらの科学との間には深い関わりがあるんです。

また、科学も万能ではありません。過信は禁物です！

線が曲線。曲線が二次曲線へ？リサージュ図形？オイラーの公式？トポロジー？

私がお話ししたいのは理解について。理解というものの性質。理解の本質は何か？ということです。というのも理解は誰もが求めるものだからです。私たちは、物事を理解したいと思います。私の考えでは、理解というのは、ものの見方や認識を変える能力に関係しています。それなくしては理解することもありません。それが私の主張です。

ここでは数学に話を絞りましょう。多くの人の考える数学とは、加算、減算、乗算、除算、分数、パーセント、幾何、代数など。そういったものです。

しかし、私は数学のもっと本質的な部分にも触れたいと思います（日本では、大学レベルで初めて登場します）私に言わせると数学とは、パターンに関するものです。

後ろのスクリーンにきれいなパターンが映っています。このパターンは、円をある特定の仕方で描くことで現れます。私が日常的に使っている数学の定義がどんなものかというと、それは第一にパターンを発見することに関わるものです。

ここで「パターン」が意味するのは、関連、構造、規則性。我々が目にするものを支配しているルールといったものです。

第２に、数学とは、そのようなパターンを言語で表現する行為です。適当な言語がなければ、言葉の定義を設定して創造します。これは、数学にとって本質的なことです。数学では、また仮定を設け、それをいろいろ変えて何が起きるか調べます。あとで、実際にやってご覧に入れます。

最後に、数学とは、イカしたことをやるものです。数学は、私たちに様々なことをできるようにしてくれます。

こちらのパターンを見てみましょう。ネクタイを結ぶというとき、そこにはパターンがあります。ネクタイの結び方には、名前が付いています。そして、ネクタイの結び方は数学で扱うことができます。

左のは「左外-右内-中外-結び」(LoRiCoT)です。真ん中のは「左内-右外-左内-中外-結び」(LiRoLiCoT)

これは、ネクタイの結び方のパターンを表すために作られた言語なんです。トポロジーとも呼ばれます。

右のは「ハーフウィンザー」としても知られています。これは靴紐の結び方に関する学部レベルの数学の本です。靴紐の通し方にもパターンがあり、非常に多くの異なるやり方があります。

それを分析し、そのための言語を創造することができます。

まず初めに、円周を3次元ユークリッド空間に埋め込んだものを「結び目」と定義していることから始まります。

結び目理論においては、変形して移り合う「結び目」は、同じ「結び目」とみなして「結び目」を研究する。

「結び目」を研究するひもの結び方はいろいろあるので、様々なタイプの「結び目」がある。では、「結び目」のタイプはどのようにして区別すれば良いのであろうか？

「結び目」に対して定められる値で、「結び目」を変形することに関して不変であるようなものを「不変量」と言う。結び目理論は、トポロジー(位相幾何学)の一分野である。

1980年代に、数理物理的手法が、低次元トポロジーに導入されて、3次元トポロジーにおいては「結び目」と3次元多様体の膨大な数の不変量(量子不変量)が発見された。

これによって、4次元トポロジーには、ゲージ理論がもたらされることになりました。これらからゲージ場の数学的根拠として、活用されることになっていきます。

ゲージ対称性、アイソスピン、クォーク理論、ヒッグス粒子など。

さらに、数理物理に由来する量子群や共形場理論、チャーンサイモンズ理論もあります。

そして、スーパーストリング理論や量子化学の「変分法」にも応用されている。

「表現」というのは、数学の至る所に出てきます。

これは1675年に書かれたライプニッツの記法です。彼は、自然界のパターンを記述するための言語を創造しました。何かを上に放り投げると落ちてきます。

なぜか？よく分かりませんが、そのパターンは、数学で表現できるんです。

これも一種のパターンです。

あることのために、言葉の定義を厳密に設定して作り出された言語です。

何か分かりますか？実は、タップダンスの系統的な表記法なんです。これによって、彼は振付師として新しいイカしたことができるようになります。具体的な表現法を手にしたからです。

何かを表現するというのが、どれほどすごいことか考えてほしいんです。これは「数学」という語を表しています。

単なる点々でしかありませんよね？

どうしてこんな点で語を表せるのでしょう？

でも、実際できて「数学」という語を表しているんです。

この記号もまた「数学」を表していますが、これは音として聞くこともできます。こんな音です。

(モールス音)

この音は、言葉や概念を表現します。

どうやってなのでしょう？

ものを表現するとき、すごいことが起きているんです。何かを表現するときに起きるこの魔法についてお話ししたいと思います。

ちょっと実験をしましょう。直線を使ってすこし遊んでみます。１本の直線があります。もう１本線を引きます。毎回一端を下に他端を横にずらして線を引いていきます。

これを繰り返していってパターンを探します。するとこのようななかなか綺麗なパターンが現れます。

曲線のように見えるでしょう？単に直線を描いているだけなのに。

見方を少し変えてみましょう。

回転させます。この曲線を見てください。何に見えますか？

円の一部でしょうか？円の一部ではありません。

真のパターンを見出すために検討を続けましょう。コピーしたら何かアートみたいになるでしょうか？そうでもありません。

線を伸ばしてパターンを探します。線をもっと増やしてみましょうか？こんな風にズームアウトして、また見方を変えてみます。

はじめは、ただの直線の集まりだったものが、放物線と呼ばれる曲線になっているのが分かります。これはシンプルな方程式で表現される美しいパターンです。

これが私たちのやっていることです。

パターンを見出し、それを表現するということ。これは、数学の当座の定義として良いと思います。

しかし、今日はもう少し掘り下げて、その性質について考察したいと思います。

何がそれを可能にしているのか？

そして掘り下げたところにあるものは、見方や認識を変える能力に関係しています。

私の主張は、見方や認識を変えて異なる視点で見るとき、その見聞きしているものについて何か新しいことを学ぶということです。これは、私たちが絶えずやっているとても重要なことだと思います。

この単純な方程式を見てください「x + x = 2 * x」これは、素敵なパターンであり正しいものです。「5 + 5 = 2 * 5」といったそういうパターンを繰り返し目にしてこのように表現したのです。

考えてほしいのは、これが方程式だということで何かと何かが等しいことを表しています。

１つのものの２つの異なる見方や認識だということです。

１つの見方や認識は「和」です。何かを加え合わせるということ。もう１つの見方や認識は「積」です。２つの異なった見方や認識です。

すべての方程式は、そういうものと言えましょう(ABC予想)

イコールの記号を使う数学の方程式はすべてメタファーであり、２つのものの間のアナロジーです。

何かについて２つの異なる見方をし、それを、言葉の定義を厳密に設定した上で言語で表しているんです。

この方程式を見てください。これは最も美しい方程式の１つです。それは単に２つのものが、どちらも「-1」だと言っています。左側のも右側のも同じ「-1」であると。

これは数学の本質的なことの１つで異なる見方をするということです。

もっといろいろ試してみましょう。数字を１つ選びます。

「4/3」です。みんな「4/3」が何かは分かります。それは「1.333･･･」ですが、点々を付ける必要があります。そうしないと正確に「4/3」にはなりません。

しかし、これは10進法の場合の話です��10種類の数字を使う記数法ではということです。もし、２種類の数字しか使わないことにしたら２進法になって「4/3」は、「1.010･･･」と表されます。

我々は、今「4/3」という数について考えているわけですが、それは、基数を変えることでこのように書けます（言葉のプロトコル、言葉の定義みたいなことです）

数字の種数を変えることでも表記は変わるのです（解釈も言葉の意味を数値で定義付けしないと基準が決まりません。量子論のコペンハーゲン解釈が有名）

これは、すべて同じ数の異なる表現です。単に「1.3」とか「1.6」と書くこともできます。

数字の種類がいくつあるかで、変わるんです。

もっと単純化してこんな風に書くこともできます。「4÷3」というのが表せて良いと思います。また、この数は２つの数の関係を表しています。

一方に、「4」があり、他方に「3」があります。これは様々なやり方で視覚化できます。

私が、今やっているのは、１つの数様々な見方や認識で見るということです。１つのものに対し、どんな見方や認識ができるか試していて、それをとても意識的にやっています。

人間の認識に適応させるため格子を使うこともできます(非ユークリッド幾何学の三角形2つで四角になるため)

横4縦3だと対角線の長さは、必ず5になります。そう物理法則として決まっているんです。

スーパーストリング理論で根源的な理由が解明されつつあります。

4と3と5からできる美しいパターンです。この長方形は、横と縦の比が「4 x 3」で良く目にするものです。

一般的なコンピューターの画面のサイズです「800 x 600」とか「1600 x 1200」は、テレビやコンピューターの画面に使われています。

みんな素敵な表現法ですが、もう少し続けてこの数で遊んでみたいと思います。ここに２つの円があります。それぞれを回転させます。左の方が少し速く回っています。

分かりますか？正確に「4/3」倍、速く回っています。つまり、左のが４回転する間に右のは３回転するということです。このように２本の線を引いて交わったところに点を描くとその点が踊り出します。

この点は「4/3」という数に由来しているのです。点の軌跡はどうなるか？軌跡を描いて何が起きているのか？見てみましょう。

数学とはそういうものです。何が起きるか観察するということ。

これが「4/3」という数から生じるのです。これは「4/3」の姿だと言って良いでしょう。

これは新しいものじゃありません。ずいぶん昔から知られていました。でもこれが「4/3」なんです。

別の実験をしてみましょう。今度は音を使います。この音です。これはラの音で「440Hz」です。周波数を２倍にしてみましょう。こんな音になります。

この２つを一緒に鳴らすとこうなります。１オクターブです。音を使って遊べます。同じラの音を今度は「3/2」倍してみましょう。これは「完全五度」と呼ばれています。

一緒にするととても綺麗に聞こえます。今度は「4/3」倍してみましょう。どうなるか？こんな音です。これは「完全四度」です。元の音が「ラ」なら新しい音は「レ」です。一緒にするとこうなります。

これは「4/3」の音なんです。ここで何をやっているかというと見方を変えているんです。

１つの数に対し、別の見方をしてみました。

本当に過小評価されていると思います。球の体積を調べるとある円柱の体積の「4/3」になります「4/3」が球の中にあるんです体積として。

私はなぜこんな話をしているのか？

何かを理解するというのはどういうことなのか？

理解すると言ったとき、何を意味するのか？

それが、ここで私の狙いです。理解しているというのは異なる見方ができること。それが私の主張です。

この文字を見てください。素敵な「R」の文字です。なぜそうと分かるのでしょう？これまでたくさんの「R」を見てきてそれを一般化し抽象化しパターンを見つけたからです。それでこれは「R」だと分かるのです。

私がやろうとしているのは理解することと見方や認識を変えることは繋がっているんだと概念を示すことです（数値的な裏付けは必要です）

私は教師であり講師ですが、このことを教えるときに使うことができます。

別のストーリーやメタファーやアナロジーを与えること。

別の視点から話をすることで理解は引き出せるからです。

理解のためには見聞きするものすべてを一般化しなければなりませんが、別の見方や認識を示すことでそれが容易になる場合があるんです。

また簡単な例で見てみましょう。

「４と３」４つの三角形があります。ある意味「4/3」です。これを組み合わせます。ちょっと遊びましょう。これを折りたたんで３次元の構造にします。これは私のお気に入り正四角錐です。これを２つ用意して合体させましょう。これは正八面体と呼ばれるものです。

５つのプラトンの立体のうちの１つです。文字通り見方や認識を変えることができます。

それぞれの軸に対して回転させて別の見方や認識で見るのです。軸を変えると別の視点や認識から見ることができます。

同じ物ですが、少し違って見えます。さらに別のやり方ができます。

そうするたびに違ったものが現れます。見方や認識を変えるとその物についてさらに学ぶことができる��です。

このことは理解を生み出すために使うことができます。

四角錐を２つ取って、このように組み合わせ何が起きるか見てみましょう。正八面体に少し似ています。

このように回転させると何が起きるでしょう？２つの四角錐を組み合わせて回転させると再び正八面体が現れます。美しい構造です。平らに押しつぶすと正八面体はこうなります。正八面体のグラフ構造です。

こんなこともできます。正八面体のまわりに３つの大円を描いて回転させます。３つの大円は正八面体と関連しているんです。自転車の空気入れで膨らませるとこれもある意味正八面体のようなものです。

私が何をやっているか分かりますか？

ものの見方や認識をいろいろと変えているんです。

一歩下がってみましょう。これはメタファーですけど、ここまでどんなことをしてきたのか？

メタファーをもてあそび、見方や認識やアナロジーをもてあそび１つの話をいろいろなやり方で語る。ストーリーを語り。いくつもの物語を作り出す。

これらのすべてが理解を可能にするのです。これは理解の本質なんです。本当にそう思います。

見方や認識を変えるというのは、人間にとって本質的なことなんです。

地球で遊んでみましょう。海にズームインします。海を見てこれは何に対してでもできます。海をよく見てみましょう。波に目を向ける浜辺に行く、海を別な見方や認識で見ることができます。

そうする度に海についてもっと知ることが出来ます。海岸に行くと潮の香りがします。波の音が聞こえます。塩の味がします。

これはみんな異なる見方や認識なんです。

そして、これは一番のもの。水の中に入り水を中から見るということ。そして、これは、数学やコンピューターサイエンスにとって実に本質的なことなんです。構造を内側から見ることができれば、そのものについて本当に学ぶことができます。

そのものの何か本質的なことです。

この海への旅をするにあたって、私たちは想像力を使いました。これは１レベル深いものであり、見方や認識を変えるために必要なものです。

ちょっとしたゲームがあります。ここに座っていながら自分があそこにいると想像するんです。自分を外から眺めるわけです。すごく妙なことです（テーラワーダ仏教のウィパッサナー瞑想法です）

見方や認識を変え、想像力を使い、自分自身を外から眺めるのです。これには想像力が必要です。

数学とコンピューターサイエンスというのは、想像力を最も駆使する芸術様式なんです。

見方や認識を変えるというのは、皆さんに馴染みのあることのはずです。

私たちが日々やっていることであり、それは、思いやりや共感とも呼ばれています。

私が、相手の見方や認識で世界を見るとき、私はその人への思いやりや共感を持っています。

相手から見た世界を本当に理解したなら、私は共感していると言えます。それには想像力が必要です。そうやって、私たちは理解を手にするのです。

数学やコンピューターサイエンスでは至る所で使います。思いやりや共感とこれらのサイエンスとの間には、深い根源的な関わりがあるんです。

そういうわけで私の結論は、理解というのは見方や認識を変える能力ととても深く結びついているということです。

皆さんにアドバイスしたいのは、見方や認識を変えてみるということです。

数学を学ぶのもいいです。これは頭を鍛える素晴らしい方法です。見方や認識を変えることで心が柔軟になります。

新しいものに対して、心が開かれ物事を理解しやすくなります。また、メタファーを使うなら水のような心を持つことです。それは良いことです。

ありがとうございました。

なお、ビックデータは教育や医療に限定してなら、多少は有効かもしれません。それ以外は、日本の場合、プライバシーの侵害です。

通信の秘匿性とプライバシーの侵害対策として、匿名化処理の強化と強力な暗号化は絶対必要です！

さらに、オープンデータは、特定のデータが、一切の著作権、特許などの制御メカニズムの制限なしで、全ての人が

望むように再利用・再配布できるような形で、商用・非商用問わず、二次利用の形で入手できるべきであるというもの。

主な種類では、地図、遺伝子、さまざまな化合物、数学の数式や自然科学の数式、医療のデータやバイオテクノロジー

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情報技術の発展とインターネットで大企業の何十万、何百万単位から、facebook、Apple、Amazom、Google、Microsoftなどで数億単位で共同作業ができるようになりました。

現在、プラットフォーマー企業と呼ばれる法人は先進国の国家単位レベルに近づき欧米、日本、アジア、インドが協調すれば、中国の人口をも超越するかもしれません。

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